miércoles, 3 de septiembre de 2008

REPRESENTACION DE LOS NUMEROS REALES


REPRESENTACION DE LS NUMEROS REALES

 Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.


Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

mplo:

Represente en la recta numérica los números $ \displaystyle{ {\frac{6}{5}}} $ y $ \displaystyle{ {\frac{-7}{2}}} $

Solución:

$ \displaystyle{ {\frac{6}{5}}} =1.2 \hspace{0.5cm}$ y $\hspace{0.5cm} \displaystyle{ {\frac{-7}{2}}} =-3.5$

 DIFERENTES SISTEMAS NUMERICOS:

REPRESENTACION BINIMIAL
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Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + bi

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)

b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand [editar]

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjuntodel plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. En la parte horizontal o eje real, se colocan los números reales; en el eje vertical o eje imaginario, van los números imaginarios puros.

Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica [editar]

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado z | .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado φ.

Geometría y oGráfico de un complejo en el plano, con ángulo y distanciaperaciones con complejos 

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Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 +ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2..



 SISTEMA BINARIO:

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la arquitectura usada.

Suma de números Binarios [editar]

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

  • 0 + 0 = 0
  • 0 + 1 = 1
  • 1 + 0 = 1
  • 1 + 1 = 10
      100110101     +  11010101     ———————————      1000001010

Resta de números binarios [editar]

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

  • 0 - 0 = 0
  • 1 - 0 = 1
  • 1 - 1 = 0

Producto de números binarios [editar]

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

        10110                 1001                         —————————                   10110                       00000                       00000                      10110                     —————————                 11000110 

En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo de Booth.

División de números binarios [editar]

La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

 100010010 |1101             —————— - 0000      010101 ———————  10001 - 1101 ———————   01000  - 0000  ———————    10000   - 1101   ———————     00111    - 0000    ———————      01110     - 1101     ———————      00001 

Conversión entre binario y decimal, binario y octal, y binario y hexadecimal [editar]

Binario a decimal [editar]

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

  1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).
  2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

  • 110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a (0)=1 0*(2) elevado a (1)=0 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 53 
  • 10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 0*(2) elevado a (5)=0 0*(2) elevado a (6)=0 1*(2) elevado a (7)=128 La suma es: 151 
  • 110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 55 

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Por ejemplo: el número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la siguiente manera:

     64  32  16  8  4  2  1       1   0   1  0  0  1  0

Binario a octal [editar]

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario000001010011100101110111
Número en octal01234567

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos:

  • 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:
111 = 7 110 = 6 Agrupe de izquierda a derecha: 67 
  • 11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:
111 = 7 001 = 1 11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3 Agrupe de izquierda a derecha: 317 
  • 1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:
011 = 3 000 = 0 1 entonces agregue 001 = 1 Agrupe de izquierda a derecha: 103. 

Octal a binario [editar]

Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo:

  • 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

Binario a hexadecimal [editar]

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
Número en hexadecimal0123456789ABCDEF

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de izquierda a derecha


Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal.[editar]

DecimalBinarioHexadecimalOctalBCDExceso 3Gray o Reflejado
0000000000000110000
1000111000101000001
2001022001001010011
3001133001101100010
4010044010001110110
5010155010110000111
6011066011010010101
7011177011110100100
81000810100010111100
91001911100111001101
101010A120001 0000
111011B130001 0001
121100C140001 0010
131101D150001 0011
141110E160001 0100
151111F170001 0101